Farkların kareleri neden kullanılır?
Varyans, gözlemlerin ortalama çevresindeki yayılımını kareli farklarla özetler. Ortalamadan farklar doğrudan toplandığında pozitif ve negatif değerler birbirini götürür. Farkları karelemek bu iptali önler ve büyük sapmalara daha fazla katkı verir. Anakütle varyansı kareli fark toplamının N’ye bölümüdür. Örneklem varyansının yaygın tahmininde toplam n − 1’e bölünür.
Varyans hiçbir zaman negatif değildir. Bütün gözlemler eşitse sıfır olur. Birimi ölçülen büyüklüğün karesidir: dakika cinsinden kayıtlarda dakika kare, santimetrede santimetre kare kullanılır. Bu yüzden doğrudan günlük yorum yapmak için çoğu kez karekökü olan standart sapma tercih edilir.
Örnek: Üç üretim ölçümünün varyansı
Bir üretim partisindeki üç parçanın uzunlukları 8, 10 ve 12 santimetre olsun. Ortalama 10 santimetre, farklar −2, 0 ve 2 santimetredir. Kareli farklar 4, 0 ve 4, toplamları 8 santimetre karedir. Bu üç parça bütün ilgili parti ise anakütle varyansı 8/3 ≈ 2,667 santimetre kare olur.
Bu parçalar daha büyük üretimden alınan örneklemse yaygın örneklem varyansı 8/(3 − 1) = 4 santimetre karedir. Örneklem standart sapması √4 = 2 santimetre çıkar. Hesap sonunda “4 santimetre” yazmak varyansın birimini yanlış ifade eder; dört değeri kareli birim taşır.
Varyans, aralık ve standart sapma
En büyük ile en küçük ölçümün farkı olan açıklık bu örnekte 12 − 8 = 4 santimetredir. Açıklık yalnız iki uç değeri kullanırken varyans bütün gözlemleri hesaba katar. İki listenin en küçüğü ve en büyüğü aynı olsa bile aradaki gözlemler farklı konumlarda toplanıyorsa varyansları farklı olabilir.
Bir listedeki bütün ölçümlere 5 santimetre eklemek ortalamayı değiştirir ama varyansı değiştirmez; ortalamadan uzaklıklar korunur. Bütün ölçümleri ikiyle çarpmak ise farkları iki, kareli farkları dört kat yapar. Bu nedenle varyans dört katına, standart sapma iki katına çıkar.
Payda seçimini ve uç değerleri açıklayın
n − 1 düzeltmesi, örneklem ortalaması aynı veriden tahmin edildiği için kullanılan serbestlik derecesiyle bağlantılıdır. Bu düzeltmeyi “her durumda daha doğru” diye yorumlamayın. Elinizde bütün hedef anakütlenin değerleri varsa onları betimlemek başka bir sorudur. Tek gözlemle örneklem varyansı hesaplanamaz; payda sıfır olur.
Bir ölçüm diğerlerinden çok uzaksa kareleme etkisiyle varyansa büyük katkı yapar. Bu gözlemi otomatik silmek yerine kayıt hatası ve gerçek süreç değişimi olasılıklarını inceleyin. Birim dönüşümlerinde de katsayının karesini kullanın: santimetreyi metreye çevirmek ölçümleri 100’e, varyansı 10.000’e bölmek demektir. Erken yuvarlama küçük veri kümelerinde fark yaratabilir.
Kaynaklar ve geçerli dönem
Mevzuat, sınav ve dönem bilgilerini kullanırken bağlantıdaki resmî kaynağın kapsamını kontrol edin.
- NIST — Yayılım ölçüleri Temel tanım ve hesap yöntemi
- OpenStax — Verinin yayılım ölçüleri Temel tanım ve hesap yöntemi